Primer problema

Inauguram aquest bloc amb la intenció de proposar problemes i intentar resoldre'ls. Quan trobem la solució a un problema també la publicarem. Comencem doncs amb el nostre primer problema.

Demostrar que si a, b i n són nombres enters aleshores l'equació "ax congruent amb b mòdul n" té solució, si i només si, a té invers mòdul n.

Està clara la implicació recíproca. Si a és invertible mòdul n aleshores existeixen b i n tals que ab-1=kn. Per tant, abb-b=bkn, amb la qual cosa l'equació "ax congruent amb b mòdul n" té solució, a saber, bb.

Es tracta ara de demostrar la implicació directa. Ens hi animam entre tots?